王亚权 （浙江省杭州文澜中学）

摘要：学好数学必须多做题.进入中考第二阶段的复习，学生已经做了相当数量的习题，积累了一定的解题经验，怎样才能做到从量变到质变的转化，这是摆在大家面前的一个现实问题.精选习题是提高复习效率的前提；改编习题是提高复习效率的重要手段；有效利用习题是提高复习效率的保证. 有效利用习题的原则：“量不在多，在于落实；题不在新，在于利用！”

关键词：复习教学；精选习题；改编习题；利用习题

多年以来，广大数学教师似乎已经形成了这样一种共识：要学好数学必须多做题，而且应该大量做题！学生更是埋头做题，因为老师告诉他（她）们，只有多做题数学才能考取高分.事实也是如此！数学大师陈省身先生在一次《焦点访谈》节目中说：“做数学，要做得很熟练，要多做，要反复地做，要做很长时间，你就明白其中的奥妙，你就可以创新了.灵感完全是苦功的结果，要不灵感不会来.”可见，学好数学必须多做题，提高解题能力必须多做题，这是众多数学家、数学教育家共同的认识.但在有限的时间里，特别是进入中考第二阶段的复习，学生已经做了相当数量的习题，积累了一定的解题经验，怎样才能做到从量变到质变的转化，这是摆在大家面前的一个现实问题.我们认为，在要求学生做一定数量习题的同时，更应该考虑所选习题的质量，更应讲究用习题的方法和策略！

一、精选习题是提高复习效率的前提

选题是复习阶段非常重要的一个环节.许多时候，老师们普遍认为，题目那么多，只要让学生做或者只要让学生照着复习用书（或资料）上的习题做就可以了，其实这是认识上的一个误区.无论是新课教学还是复习课教学，我们都必须精选习题，使所选习题更好地为实现教学目标服务.选题时我们可以从以下几个方面考虑：

1、从教科书中的典型习题中选题

著名数学家苏步青先生在《关于数学打基础问题》一文中指出：“中小学生要想在解数学习题上做到既正确又迅速，必须牢固地学好这四门学科（注：指算术、代数、几何、三角）的基础知识，这应该说是唯一的‘秘诀’罢.所谓‘学好’是指把各学科内容即教科书内容包括其中所有习题学得深透、演得烂熟，真正做到没有一个定理不会证，没有一个习题不会做的程度”^〔1〕.教科书上有许许多多典型的问题，常被我们称之为“基本题”或“典型题”，各地历年的中考试卷都有一定数量的试题来自于教科书原题或改编.因此，复习中的选题，我们应立足课本，关注教科书上的习题.

例1  浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级下册（以下简称“浙教版七下”，其他年级的教科书依次类推）第57页作业题5：要在一条河上架一座桥（桥通常与河岸垂直），小聪、小明、小慧分别提供了一种设计方案（如图1）.哪一种方案能使从A地到B地的路程最短？请说明理由.

图1

B/

 

分析：由于河宽（即桥的长度）是不变的，所以要使从A地到B地的路程最短，只需考虑线段BC与AD的和最小即可.将线段BC作平移变换即可求解.

解：小明的方案能使从A地到B地的路程最短.过点B作河岸的垂线，并截取BB^/等于河宽CD（如图1），连接AB^/，交河岸于点D，则点D即为桥的位置.理由是两点之间线段最短.

本题的原型是“饮马问题”^〔2〕，与此相关的问题很多，屡屡出现在各地的中考试卷上.

变式1（2006年四川·内江卷)阅读并解答下面问题．

    (1)如图2所示，直线 的同侧有A、B两点，在 上求作点P，使AP+BP的值最小(要求尺规作图，保留完整的作图痕迹，不写画法和证明)．

    (2)如图3，A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的距离AC为1 km，B工厂到河堤的距离BD为2 km，经测量河堤上C、D两地间的距离为6 km．现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方?

    (3)通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面问题：若 ，当 为何值时， 的值最小，并求出这个最小值．

图2

图3

 

解：(1)略；

(2)如图4，由(1)知点A^/与点A关于CD对称，连接A^/B交CD于点P，点P即为污水处理厂的位置.

图4

设 ．由△A^/CP∽△BDP得， ，即 .解得 .

所以污水处理厂应建在距C地2 km的河堤边.

(3)设AC=1，BD=2，CD=9， ，则 ， ，由(2)知，当A^/，P，B共线时，PA^/+PB= 最小.同（2）可求得 .

所以当 时， 值最小，最小值为3 .

【评注】本例从最基本的“饮马问题”的作图入手，设计了三个层层递进的问题，既考查了学生对基本问题的掌握情况，又考查了学生运用基本技能解决实际问题的能力，特别是问题（3），考查了学生运用数形结合思想的能力和知识、方法上的迁移能力.试题较好地体现了能力立意.

本例给我们的教学启示是：在注重基础知识、基本问题教学的同时，要运用类比、联想、归纳、拓展等策略提高学生的解题能力.

变式2（2009年湖北·孝感卷）在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =       时，AC + BC的值最小．

答案： .

【评注】该变式将“饮马问题”放置到平面直角坐标系中，通过求对称点的坐标、函数解析式及两直线的交点坐标等问题完成解答.

图5

变式3（2009年陕西卷）如图5，在锐角△ABC中， ，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是      .

分析：作点N关于直线AD的对称点N^/，根据对称性可知点N^/在边AC上.连接MN，则MN^/=MN，这时BM+MN= BM+MN^/，要使BM+MN^/的值最小，必须使MN^/，BM在同一直线上，且这个最小值就是过B作AC的垂线段BE的长.在Rt△ABE中，求得 .

【评注】该变式将原先“两个定点一个动点”的求最小值问题，设计成“一个定点两个动点”的求最小值问题，难度有所加大.

变式4 已知A，B